Статья по математике на тему: Интегралы

Интегралы

История возникновения интеграла гласит о двух причинах его появления: необходимость находить первоначальную функцию по ее производной и необходимость вычислять объемы и площади сложных фигур.

Всем известный символ интеграла введем известным математиком Лейбницем, и представляет собой деформированную латинскую букву S. S – первая буква слова сумма. А термин «интеграл» принадлежит Бернулли.

Неопределенный интеграл и первообразная функции

Что такое первообразная функция? Предположим, что у нас есть произвольная функция f(x). Тогда ее первообразной будет считаться такая функция F(x), производная которой будет равнять данной первоначальной функции.

F'(x) = f(x).

Или же это можно обозначить таким образом

В данной формуле F'(x) = f(x). Функция f(x) именуется подынтегральной, а f(x)dx – является подынтегральным выражением.

У неопределенного интеграла имеется четыре основных свойства, которые необходимо усвоить для удобной работы с ними.

Свойства неопределенного интеграла

1) Если от неопределенного интеграла взять производную, ответ будет равен первоначальной подынтегральной функции; дифференциал же его будет равняться подынтегральному выражению.

2) Интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

3) При решении интеграла модно выносить постоянный множитель из под его знака, если только соблюдается условие k = const не равно 0

4) . Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций.

Для решения интегралов используется специальная таблица основных интегралов:

Непосредственное интегрирование – это вычисление интегралов, при котором используются лишь таблица основных интегралов и свойства интегралов.

Однако, когда требуется взять интеграл от более сложной функции, становится необходимым использование дополнительных методов решения. К таким методам относятся:

1. Интегрирование подведением под знак дифференциала.
2. Интегрирование по частям
3. Метод подстановки

см. также:
Все статьи по математике